7) Phi (Φ) La historia de PHI (Φ), el número más sorprendente del mundo.7.1) El Ángulo Áureo.La forma cómo gira la naturaleza.
El ángulo de 137,5° es conocido como Ángulo Áureo. Equivalente a 0.618 de giro en un sentido, o de 0.382 de giro en la otra dirección.
A la Proporción Áurea la solemos encontrar como una proporción entre un segmento y los dos segmentos en que le dividimos.
Además, sabemos, que un rectángulo es áureo si el cociente entre sus dos longitudes, la mayor entre la menor es el número de la Proporción Áurea o Phi (φ)
De manera análoga, podemos extender esta relación y encontrar el ángulo áureo, al dividir el círculo (360°) en dos ángulos tales que el cociente entre el mayor y el menor sea el número PHI (Φ).
7.2) El Ángulo Áureo y la Filotaxis.
En el crecimiento de algunas plantas, las hojas se distribuyen alrededor del tallo en ángulos áureos.
La figura ilustra el caso en el que ha sido necesario tres giros completos para pasar a través de ocho tallos (una proporción filotáctica de 3/8).
En la antigüedad, el primero en descubrir que las hojas de las plantas seguían un patrón determinado fue Teofrasto (372 - 287 a.C.), quien lo expuso en su obra "Historia de las plantas": «aquellas que tienen hojas planas las tienen en series regulares».Plinio el Viejo (23-79 d.C.) realizó una observación similar en su monumental obra "Historia Natural", donde habla de «intervalos regulares» entre hojas «ordenadas circularmente alrededor de las ramas».
Girasol:
Piña:
Margarita:
Las hojas deben disponerse, alrededor del tallo, de manera que reciban la máxima cantidad posible de luz solar. Si creciesen unas encima de las otras, la hoja de arriba impediría que la luz solar llegase a la hoja de abajo. A medida que el tallo va creciendo, cada hoja brota con un ángulo fijo respecto a la hoja anterior. Curiosamente, es el ángulo áureo de 137,5º.
La primera persona que descubrió (de un modo intuitivo) la relación entre la filotaxis y los números Fibonacci fue el astrónomo Johannes Kepler (1571-1630).
La auténtica filotaxis matemática, ya que antes eran solo aproximaciones descriptivas, empieza en el siglo XIX con las obras del botánico Karl Friedrich Schimper (publicadas en 1830), su amigo Alexander Braun (publicadas en 1835) y el cristalógrafo Auguste Bravais y su hermano botánico Louis (publicadas en 1837).
Estos investigadores descubrieron la regla general según la cual las proporciones filotácticas pueden expresarse por las proporciones de las cifras de la serie de Fibonacci (como 2/5 , 3/8), y también se percataron de la aparición de números Fibonacci consecutivos en los parastichies de las piñas de pino.
El Ángulo Áureo. Cómo gira la naturaleza.
Filotaxis. Distribución de las hojas alrededor de un tallo. Ninguna hoja está completamente sobre otra anterior.
Ángulo de Oro y Filotaxia.
La hermosa disposición simétrica de los pétalos de la rosa también se basa en la Proporción Áurea.
El número de petalos en las flores, generalmente, son números de la secuencia de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
El botánico holandés Gerrit van Iterson, en 1907, desarrolló un enfoque matemático para el crecimiento de las plantas y demostró que si se envuelven estrechamente puntos separados por 137,5º en espirales fuertemente enrolladas, el ojo distinguirá una familia de modelos de espirales enrolladas en el sentido de las agujas del reloj y otra en el sentido opuesto.
Las espirales enrolladas más espectaculares las encontramos en la disposición de las flores compuestas del girasol, formando tanto modelos de espiral en el sentido de las agujas del reloj como modelos en el sentido contrario.
En el girasol de la figura hay 21 espirales hacia la derecha y 34 hacia la izquierda. Ambos (21 y 34) son números de Fibonacci contiguos y, por lo tanto, el cociente entre ellos (34/21) se aproxima a PHI (Φ) = 1,61803....7.3) ¿Por qué están separadas por un Ángulo Áureo (137,5°) las hojas sucesivas? Esta fue la pregunta básica desde los orígenes de la filotaxis, hace 2.300 años.
Hay dos formas para intentar responder: a) Reglas matemáticas: Estas se centran en la geometría y en las matemáticas que generar dicha geometría, b) Los Modelos físicos: que sugieren una causa dinámica para dicho comportamiento.
7.3.a) Segun los modelos matematicos la espiral en el crecimiento de las plantas ocurre de forma natural donde cada nueva célula se forma después de un determinado giro. Los brotes ubicados a lo largo de la espiral generativa y separados por el Ángulo Áureo (Phi (Φ) = 137,5°) se aprietan entre sí de forma más eficiente.
Intenta, en el simulador de crecimiento de la izquierda, encontrar el mejor valor numerico: Utiliza diferentes valores como 0.75 ; 0.95 ; 3.1416 ; 0.62 ; siendo 1.00 un giro completo (se obtendria una línea recta).
Cualquier número que sea una fracción simple (ejemplo: 0.75 es 3/4, y 0.95 es 19/20, etc.) formará, después de un tiempo, un patrón de líneas apiladas, lo que genera espacios.
El giro que se mantiene unido sin espacios se obtiene con 1,61803 ... (o con 0,61803 ... ya que la parte entera no importa, porque es un giro completo quedando nuevamente en la misma dirección), valor que resulta ser PHI (Φ)
Phi (Φ) es un número irracional, lo que significa que no es posible escribirlo como una fracción simple, asegurando que los brotes no se alineen a lo largo de ninguna dirección radial específica. Pero no basta con que el angulo de giro sea irracional. Intentemos con Pi(π) (3,14159265...), que también es irracional, pero como tiene un decimal muy cercano a 1/7 (= 0.142857...) termina con 7 brazos. Esto hace de Phi (Φ) un irracional muy especial.
La formula de PHI (Φ) es aproximable mediante la mas simple de todas las fracciones continuas, porque todos los "concientes incompletos" son 1 (uno), y esto hace que la convergencia sea muy lenta, es decir, es un número irracional muy mal aproximable mediante números racionales.
Y esta es la Razón por la cual, se dice que, PHI (Φ) que es el más irracional de todos los números irracionales.
Un aspecto fascinante de Φ es su relación algebraica consigo misma: Φ = 1 + 1/ΦEsta ecuación muestra que Φ es igual a 1 más su propio recíproco.
Reflejo de su autosemejanza.
Que es la Autosemejanza:
La autosemejanza se refiere a un objeto que se parece a sí mismo a diferentes escalas.
En términos más simples, si divides Φ en dos partes, una parte será igual a 1 y la otra será igual a 1/Φ.
7.3.b) La causa dinámica de la filotaxis fue encontrada, en 1995, por los científicos franceses Stephane Douady e Yves Couder que llevaron a cabo un experimento en el que dejaban caer gotas de un ferrofluído sobre un disco giratorio magnético.
El experimento de Douady y Couder:
Titulo: La filotaxis como proceso dinámico de autoorganización Parte II: La formación espontánea de una periodicidad y la Coexistencia de patrones en espiral y verticilos - 1995
Ver informe completo
Dado que, habitualmente, los sistemas físicos se estabilizan en estados que minimizan la energía, la idea es que la filotaxis simplemente representa un estado de energía mínima para un sistema de brotes que se repelen mutuamente.
Otros modelos, en los que las hojas aparecen en los puntos de mayor concentración de algún nutriente, también suelen producir separaciones semejantes al Ángulo Áureo.
La botánica no es el único lugar de la naturaleza en donde podemos encontrar la Proporción Áurea y los números Fibonacci, sino que ambos aparecen en fenómenos tan dispares en tamaño que van desde el nivel microscópico hasta las galaxias gigantes. A menudo, su apariencia adopta la forma de una magnífica espiral.
7.4) La ESPIRAL LOGARÍTMICA A la naturaleza le encantan las espirales logarítmicas.
Las espirales más conocidas son:
La espiral logarítmica se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.
Sus formulas estan en coordenadas polares(r,θ)
donde a y b son números reales positivos.
El matemático griego Arquímedes (287-212 a.C.) describió la espiral que recibe su nombre en su libro Sobre las espirales. Y las podemos observar en el lado de un rollo de papel higiénico o en una cuerda enrollada en el suelo. En este tipo de espiral, la distancia entre los sucesivos anillos es siempre la misma.
La espiral logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza, y su nombre proviene de la expresión de una de sus ecuaciones:
En coordenadas polares (r,θ) su formula es: r = a bθ o θ = log b ( r/a )
donde: 𝑟 es la distancia desde el origen. 𝜃 es el ángulo. a y b son constantes que determinan la forma específica de la espiral. ( b suele reemplazarse por la constante matemática 𝑒 (número de Euler = 2.71828) base fundamental de los logaritmos naturales)
Espiral Logarítmica:r = a * e(c * θ) donde:
'a' es la constante que determina la separación entre vueltas
'c' es la constante de crecimiento exponencial.
Espiral de Arquímedes:r = a + (b * θ) donde:
'a' constante que desplaza la espiral en el eje X
'b' constante que controla la distancia entre giros sucesivos.
7.4.a) Jacob BERNOULLI. Spira Mirabilis (Maravillosa espiral).
El matemático y científico suizo Jacob Bernoulli (también conocido como James o Jacques) (1654-1705) dedicó un tratado titulado Spira Mirabilis (Maravillosa espiral) a este tipo concreto de espiral.
Le impresionó tanto la belleza de esta curva que exigió que la forma, y el lema que le asignó «Eadem mutato resurgo»(aunque transformado, aparezco de nuevo igual) fueran grabados en su tumba.
Este lema describe una propiedad única de la espiral logarítmica: su forma no se altera cuando aumenta su tamaño. Rasgo que se conoce con el nombre de autosimilitud.
Fascinado por esta propiedad, Jacques escribió: «puede usarse como símbolo tanto de la fortaleza y constancia frente a la adversidad como del cuerpo humano, el cual, tras todas sus transformaciones, inclusive la muerte, será restaurado en su auténtico y perfecto ser»
Bernoulli es conocido por sus importantes contribuciones al campo de la probabilidad, contenidas en su otra obra titulada "Ars Conjectandi", publicada póstumamente en 1713, ocho años después de su muerte en 1705, siendo una referencia fundamental en ese campo.
"Ars Conjectandi" está dividido en cuatro partes principales:
- Comentarios sobre los trabajos previos de probabilidades escritos de otros matemáticos, como Christiaan Huygens, sobre problemas relacionados con juegos de azar,
- Cálculo combinatorio: Desarrolla herramientas matemáticas esenciales, como la permutación y la combinación, para resolver problemas de probabilidad.
- Teoría de probabilidad: Introduce métodos sistemáticos para calcular probabilidades, aplicándolos tanto a juegos de azar como a otras situaciones prácticas.
- La Ley de los Grandes Números: Una de sus contribuciones más notables, que establece que, a medida que aumenta el número de ensayos en un experimento, los resultados observados tienden a acercarse al valor teórico esperado.
7.4.b) La autosimilitud, es una propiedad que se da en muchos fenómenos de crecimiento de la naturaleza.
Veamos algunos ejemplos:
I) La concha del nautilo. Seccionada sagitalmente, revela una línea de nácar con forma de espiral logarítmica.
A medida que el molusco del nautilo crece en el interior de la concha, va construyendo un habitáculo cada vez mayor y sellando los pequeños que ya no utiliza.
Cada incremento en la longitud de la concha va acompañado de un incremento proporcional de su radio, de modo que la forma permanece inalterada.
Por tanto, el nautilo percibe una «casa» idéntica a lo largo de toda su vida, y no necesita, por ejemplo, ajustar su equilibrio a medida que crece.
II) En cuernos de Carneros y colmillos de Elefantes.
También puede aplicarse a los carneros, cuyos cuernos tienen la forma de espirales logarítmicas, y a la curva de los colmillos del elefante.
Cuando incrementa el tamaño por la acumulación en su interior, la espiral logarítmica se hace más ancha, aumentando la distancia entre sus «anillos», a medida que se aleja de la fuente, conocida como polo.
Para ser más precisos, al girar ángulos iguales, aumenta la distancia desde el polo en igual proporción.
7.4.c) La espiral logarítmica también es conocida por Espiral Equiangular, por otra propiedad única:
Si se traza una línea recta desde el polo hacia cualquier punto de la curva, ésta queda cortada exactamente en el mismo ángulo.
Los halcones peregrinos utilizan esta propiedad para atacar a sus presas, ya que dicha trayectoria les permite controlar visualmente a sus presas al tiempo que maximizan la velocidad.
7.5) La Espiral Logarítmica y la Proporción Áurea van de la mano: La ESPIRAL ÁUREA.
Si conectamos los puntos sucesivos donde se dividen los lados de un Rectangulo Áureo en Proporciones Áureas, obtendremos una espiral logarítmica que se enrosca hacia dentro en dirección al polo (denominado imaginativamente «el ojo de Dios»), Lo mismo en un Triangulo Áureo.
7.5.a) La Espiral Logarítmica y la Proporción Áurea en diferentes escalas:
Galaxia del Molinete (o M101) y Tifón Rammasun
El Tifón Rammasun sólo mide unos 1000 km de diámetro mientras que la Galaxia del Molinete (o M101) abarca unos 170 mil años-luz.
Esta disparidad de cifras da idea de la diferencia de escala que separa estos dos fenómenos, formados y desarrollados en muy diferentes entornos físicos.
Sin embargo, en ambos, sus brazos exhiben la forma de una espiral logarítmica.
7.5.b) Los Huracanes y la Espiral Logarítmica:
Imagenes del Huracán Katrina del 22 de agosto al 1 de septiembre de 2005
Huracanes y Tifones. ¿Por qué tienden a formar una espiral logarítmica? La clave está en que el vector de la velocidad del aire forma un ángulo aproximadamente constante con el campo de las isobaras (curvas de presión constante alrededor del ojo del huracán).
7.5.c) La evolución galáctica:
La evolución galáctica.
¿Por qué las galaxias tienen espirales?.
7.6) MÚSICA ÁUREA:
¿Por qué tenemos 12 notas musicales?
Hoy en día, todos los grupos de cuerda y orquestas sinfónicas utilizan el descubrimiento de Pitágoras sobre las relaciones de los números enteros con los tonos musicales.
En la antigua Grecia la música se consideraba una parte de las matemáticas.
No fue hasta el siglo XII cuando la música se desligó de las matemáticas. No obstante, en el siglo XVIII, el filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) escribió: «La Música es un ejercicio aritmético secreto y la persona que se entrega a ella no se da cuenta de que está manipulando números».
En esta misma época, el gran compositor alemán Johann Sabastian Bach (1685-1750) quedó fascinado por un tipo de juegos que pueden jugarse con notas musicales y números. Por ejemplo, Bach encriptó su firma en algunas de sus composiciones mediante códigos musicales. En la notación musical alemana, B es "Si bemol", de modo que Bach pudo deletrear su nombre en notas musicales del siguiente modo: B (Si bemol), A (La), C (Do), H (Si).
Otra encriptación utilizada por Bach se basaba en la Gematría. Si cogemos A = 1, B = 2, C = 3, etc., B-A-CH = 14 y J-S-B-A-C-H = 41 (porque en el alfabeto alemán de la época de Bach la I y la J eran la misma letra).
Las frecuencias de las notas musicales en una octava afinadas con un La de 440 Hz (en el sistema de temperamento igual) son:
Un tono musical puro se caracteriza por una frecuencia fija (número de vibraciones por segundo). El tono estándar utilizado para la afinación es La (A), el cual vibra a 440 veces por segundo.
Muchos consideran a la sexta mayor y a la sexta menor, ambas relacionadas con la Proporción Áurea, como los dos intervalos musicales más placenteros.
En la escala de Do una sexta mayor es La. La proporción de ambas notas, de La con Do, 440/261.63, se reduce a 5/3, la proporción de dos números Fibonacci.
Y una sexta menor se puede obtener de un Do alto (523.25 vibraciones por segundo) y un Mi (329.63 vibraciones por segundo). En este caso, la proporción 523.25/329.63 se reduce a 8/5, lo que también resulta una proporción de dos números Fibonacci y también muy cercana a la Proporción Áurea.
La introducción de tecnologías de grabación y la música por ordenador en el siglo XX aceleraron los cálculos numéricos precisos y, por tanto, estimularon la música basada en números.
El compositor, matemático y profesor Joseph Schillinger (1895-1943) creía firmemente en la base numérica de la música y desarrolló un Sistema de Composición Musical en el que notas sucesivas de la melodía, seguían intervalos Fibonacci al ser contados en unidades de semitono. Para Schillinger, estos saltos Fibonacci de las notas, transmitían el mismo sentido de armonía que las proporciones filotácticas de crecimiento de las hojas en el tallo.
Schillinger halló «música» en los lugares más extraños. En la biografía escrita por su viuda, el autor ejemplifica diciendo: «El golpeteo de la lluvia tiene su ritmo y los limpiaparabrisas un modelo rítmico. Eso es arte inconsciente».
8) Vídeos imperdibles sobre el tema:
Secuencia Fibonacci y Proporcion Áurea. La Geometria Sagrada de la Creación.
La creacion esta en nosotros y en todo lo que nos rodea.
Somos parte de un todo asi como todo parte de uno. Solo Abre los ojos y tu mente.
El ángulo de 137,5° es conocido como Ángulo Áureo. Equivalente a 0.618 de giro en un sentido, o de 0.382 de giro en la otra dirección.
