1) La proporción áurea.
       La historia de PHI (Φ), el número más sorprendente del mundo.

La primera mención de la "razón áurea" como tal, se atribuye al matemático griego Euclides en su obra "Los Elementos", alrededor del año 300 a.C. Sin embargo, el concepto en sí ya existía antes, relacionado con la proporción 1:1.618, que era consideraba estéticamente agradable y que se encuentra en la naturaleza, el arte y la arquitectura.

Algunas de las mayores mentes matemáticas de todos los tiempos, desde Pitágoras y Euclides en la Grecia antigua, pasando por el matemático medieval italiano Leonardo de Pisa (o simplemente Fibonacci) y el astrónomo renacentista Johannes Kepler, hasta las figuras científicas contemporáneas como el físico oxoniense Roger Penrose, han dedicado horas interminables a esta sencilla proporción y a sus propiedades.

Pero la fascinación por la Proporción Áurea no se circunscribe únicamente al mundo de las matemáticas. Biólogos, artistas, músicos, historiadores, arquitectos, psicólogos e incluso místicos han meditado y debatido sobre las características de su ubicuidad y encanto. De hecho, ha inspirado a pensadores de todas las disciplinas de un modo que no tiene comparación con ninguna otra proporción (o número) en la historia de las matemáticas.

El término "razón áurea" (o divina proporción) comenzó a utilizarse más formalmente, y a popularizarse, en la época del Renacimiento, especialmente por el impacto del libro titulado, justamente, "De Divina Proportione", escrito por el matemático "Luca Pacioli", con ilustraciones realizadas por "Leonardo da Vinci", publicado en 1509, en venecia, donde se describen las caracteristicas de esta proporción y su estética. Como subtitulo Pacioli agrega: «una obra necesaria para todas las mentes perspicaces y curiosas, en la que todo aquel que ame el estudio de la filosofía, la perspectiva, la pintura, la escultura, la arquitectura, la música y otras disciplinas matemáticas, se encontrará con una enseñanza muy delicada, sutil y admirable, y se regocijará con las diversas cuestiones de una ciencia muy secreta».     - Edición de 1509, en idioma italiano, por el impresor y editor veneciano Paganino Paganini     - Traducción al castellano de 2017, por Ricardo Resta. Edición digital ePubLibre.

En el quinto capítulo del primer volumen, Pacioli ofrece cinco razones por las cree, que este es nombre apropiado para la Proporción Áurea:

-1. «Es una y nada más que una».
Pacioli compara el valor único de la Proporción Áurea al hecho de que la unidad «es el epíteto supremo de Dios».

-2. Encuentra una similitud entre el hecho de que la definición de la Proporción Áurea comprende tres longitudes (AC, CB y AB) y la existencia de la Santísima Trinidad: Padre, Hijo y Espíritu Santo. -3. Porque, la incomprensibilidad de Dios y el hecho de que la Proporción Áurea sea un número irracional son equivalentes. En palabras de Pacioli: «Del mismo modo que Dios no puede ser definido ni comprendido con palabras, nuestra proporción no puede designarse con múmeros inteligibles ni expresarse con ninguna cantidad racional, sino que ha de permanecer escondida y en secreto, y es denominada irracional por los matemáticos».           PHI (Φ) = 1,61803 39887 49894 84820 ....

La conciencia de que existían números, como la Proporción Áurea, que continuaban infinitamente sin mostrar ninguna repetición o patrón provocó una crisis filosófica profunda.

No se conoce la fecha exacta del descubrimiento de los números que no eran ni enteros ni fracciones y que se conocen como números irracionales, pero se supone que fue durante el siglo V a.C.

El hecho de que la Proporción Áurea no pueda expresarse como una fracción (como un número racional) significa que por mucho que nos esforcemos, no podremos hallar ninguna medida común que esté contenida, digamos, 31 veces en AC y 19 en CB. Dos longitudes que no disponen de medidas comunes se conocen por el nombre de inconmensurables.

Por tanto, el descubrimiento de que la Proporción Áurea es un número irracional representó, al mismo tiempo, el descubrimiento de la inconmensurabilidad.

-4. Pacioli compara la omnipresencia y la invariabilidad de Dios con la similitud asociada a la Proporción Áurea, cuyo valor es siempre el mismo y no depende de la longitud de la línea que se divide o del tamaño del pentágono en que se calculen las proporciones de las longitudes.

    Ver: ¿Qué tiene que ver un pentágono con la división de una línea usando PHI (Φ)?

-5. La quinta razón nos revela una visión de la existencia más platónica que la del mismo Platón. La visión de Platón se basa en la idea de que el mundo de las ideas es la verdadera realidad, mientras que el mundo sensible es una copia de este. Pacioli afirma que, del mismo modo que Dios creó todo el cosmos a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro, la Proporción Áurea crea el dodecaedro, ya que no puede construirse sin esta Proporción.

Añade que sin la Proporción Áurea es imposible comparar los otros cuatro sólidos platónicos (que representan la tierra, el agua, el aire y el fuego) entre sí.

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1.b) ¿Qué tiene que ver un pentágono con la división de una línea usando PHI (Φ)?
En cualquier figura plana cuyos lados y ángulos interiores son iguales (conocidas como polígonos regulares), la suma de todos los ángulos interiores es: 180 (n – 2), donde n es el número de lados. Por ejemplo, en un triángulo n = 3, la suma de todos sus ángulos es igual a 180 grados. En un pentágono n = 5, la suma de todos sus ángulos es igual a 540 grados. Por lo tanto, cada ángulo del pentágono es igual a 540/5 = 108 grados.
- Figura 1: Si dibujemos dos diagonales adyacentes en el pentágono se forman tres triángulos isósceles (con dos lados iguales).
Como los dos ángulos cerca de la base de un triángulo isósceles son iguales, los ángulos base de los lados de los dos triángulos son de 36 grados cada uno [mitad de (180º – 108º)]. Por tanto, obtendremos para los ángulos del triángulo medio los valores 36-72-72.
Si bisecamos uno de los dos ángulos de la base de 72º (como en la figura 2), obtenemos un triángulo menor DCF con los mismos ángulos (36-72-72) que el mayor ADC. Donde el punto F divide la línea AC precisamente en Proporción Áurea. En otras palabras, en un pentágono regular la proporción de la diagonal al lado es igual a Φ.
Este hecho ejemplifica que la habilidad para construir una línea dividida por la Proporción Áurea proporciona a su vez un medio sencillo para construir un pentágono regular.
El triángulo central de la figura 1, con una proporción entre el lado y la base de 1/Φ, se conoce como el Triángulo Áureo; los dos triángulos de los lados, con una proporción entre el lado y la base de 1/Φ se conocen como Gnomons Áureos.
- Figura 2: Una propiedad única de los Triángulos Áureos y los Gnomons Áureos: pueden diseccionarse en triángulos, que también son Triángulos Áureos y Gnomons Áureos.
- Figura 3: Al trazar las diagonales en un pentágono cualquiera, todos los triángulos que se forman son triángulos semejantes a alguno de los dos anteriores.
Solo hay cuatro longitudes distintas de segmentos, AC, AB, AG y FG, que verifican: AC/AB = AB/AG = AG/FG = Φ
Y solamente tres ángulos distintos: 36º, 72º y 108º

El pentágono regular está muy relacionado con el pentagrama (figura plana que posee cinco lados y cinco ángulos idénticos). Al conectar con diagonales todos los vértices del pentágono se obtiene un pentagrama. A su vez, las diagonales forman en el centro un pentágono de menor tamaño, y las diagonales de este pentágono forman un pentagrama y un pentágono aún menor. Esta progresión puede continuar hasta el infinito, creando pentagramas y pentágonos cada vez más pequeños. La sorprendente característica de esta sucesión de pentagonos y pentagramas, es que si se mira a los segmentos en línea en orden de longitud decreciente (figura 4) como a, b, c, d, e, f, todo segmento es menor que el anterior por un factor precisamente igual a la Proporción Áurea, Φ.

La preocupación pitagórica por el pentagrama y el pentágono, junto al conocimiento sobre geometría a mediados del siglo V a.C., posibilitó que Hipaso de Metaponto, descubriera la Proporción Áurea y, mediante ésta, la inconmensurabilidad.

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1.c) Para el ser racional, lo irracional es insoportable

Aunque tenemos una cantidad infinita de números enteros a nuestra disposición, no importa cuánto tiempo invirtamos en buscarlos, jamás encontraremos dos cuya proporción sea precisamente igual a PHI (Φ). ¿No es alucinante?

Sabiendo que, probablemente, el interés inicial en la Proporción Áurea surgió de la relación que establecía con el pentagrama, ante todo debemos seguir los orígenes de este último, ya que eso nos conducirá a las primeras apariciones de la Proporción Áurea.

Si le pides a un niño que te dibuje una estrella, lo más probable es que dibuje un pentagrama. En realidad, es una consecuencia del hecho de observar las estrellas a través de la atmósfera terrestre. La turbulencia del aire desvía la luz de las estrellas creando modelos en constante transformación, lo que provoca el familiar centelleo. Al intentar representar las puntas que genera el centelleo utilizando una figura geométrica simple, los humanos dieron con el pentagrama, el cual también dispone de otra atractiva propiedad adicional: puede dibujarse sin levantar el instrumento utilizado de la arcilla, del papiro o del papel.

Con el paso del tiempo, estas «estrellas» se han convertido en un símbolo de excelencia (por ejemplo, hoteles, películas, libros de cinco estrellas), de éxito (estrellato), de oportunidades (alcanzar las estrellas) y de autoridad (generales «cinco estrellas»).

Algunos de los pentagramas más antiguos aparecieron en Mesopotamia durante el cuarto milenio a.C. En excavaciones realizadas en Uruk (donde también se descubrieron las primeras representaciones escritas) y en Jemdet Nasr se han encontrado formas de pentagramas. Probablemente, la antigua ciudad sumeria de Uruk es la misma que se menciona en la Biblia (Génesis 10) con el nombre de Erech.

En sumerio, el pentagrama o su derivado cuneiforme, significaba «las regiones del universo». Generalmente, el símbolo jeroglífico compuesto por una estrella encerrada en un círculo significa el «mundo subterráneo» o la lucha mítica de las estrellas durante el crepúsculo, mientras que las estrellas sin círculo servían simplemente para designar las noches estrelladas.

La pregunta que debemos respondernos, no es tanto si los pentagramas o pentágonos tenían un significado simbólico o místico para las civilizaciones antiguas sino si estas civilizaciones también eran conscientes de las propiedades geométricas de dichas figuras y, en especial, de la Proporción Áurea.

Es altamente improbable que los antiguos babilonios o los antiguos egipcios descubrieran la Proporción Áurea y sus propiedades; esta tarea quedó en manos de los matemáticos griegos.

La excelencia griega en matemáticas fue, en su mayor parte, una consecuencia directa de su pasión por el conocimiento puro más que por cuestiones prácticas.

En este entorno intelectual aparece Platón (428/427 a.C.-348/347 a.C.), una de las mentes más influyentes de la antigua Grecia y de la civilización occidental en general.

Platón afirma en "La República", que las matemáticas eran obligatorias en la educación de todos los líderes de Estado y filósofos. De ahí que la inscripción en la entrada a su escuela (la Academia) rezara: «Que nadie que carezca de geometría atraviese mis puertas».

Platón y la Sección Áurea están unidos a través de dos aspectos: la inconmensurabilidad y los sólidos platónicos.

En su obra "Timeo", Platón acepta la enorme tarea de debatir sobre el origen y el funcionamiento del cosmos. En concreto, intenta explicar la estructura de la materia utilizando los cinco sólidos regulares (o poliedros), que ya habían sido investigados, hasta cierto punto, por los pitagóricos.

Los cinco sólidos platónicos se distinguen por las siguientes propiedades: son los únicos sólidos en los que todas sus caras (de un sólido dado) son idénticas y equiláteras; además, cada uno de los sólidos puede inscribirse en una esfera (tocando la esfera todos sus vértices). Los sólidos platónicos son el tetraedro (con cuatro caras triangulares), el cubo (con seis caras cuadradas), el octaedro (con ocho caras triangulares), el dodecaedro (con doce caras pentagonales), y el icosaedro (con veinte caras triangulares).

Platón combinó las ideas de Empédocles, que describía los cuatro elementos de la materia como tierra, agua, aire y fuego, con la teoría «atómica» de la materia (la existencia de partículas indivisibles) de Demócrito de Abdera. Su teoría «unificada» proponía que cada uno de los cuatro elementos correspondía a una clase diferente de partícula fundamental y que se representaba por uno de los sólidos platónicos.

Según Platón, la Tierra se asocia al cubo estable; la cualidad «penetrante» del fuego con el puntiagudo y relativamente simple tetraedro; el aire, con la apariencia «móvil» del octaedro, y el agua con el icosaedro de múltiples caras.

Platón (en Timeo) asignó el quinto sólido, el dodecaedro, al universo en su totalidad, o, con sus propias palabras, el dodecaedro es lo que «la divinidad utilizó para tejer las constelaciones por todo el cielo». Ésta es la razón por la que el pintor Salvador Dalí decidió incluir un enorme dodecaedro flotando por encima de la mesa de la cena en su obra "Sacramento de la Última Cena".

La ausencia de un elemento fundamental que se relacionara con el dodecaedro no fue aceptada por todos los seguidores de Platón, algunos de los cuales postularon la existencia de un quinto elemento. Por ejemplo, Aristóteles escogió el éter, el material de los cuerpos celestiales que según su opinión cubría el universo entero, como quinta esencia cósmica (quintaesencia).

La idea de una sustancia que llena todo el espacio como medio necesario para la propagación de la luz continuó vigente hasta que en 1887 un famoso experimento, elaborado por el físico Albert Abraham Michelson y el químico Edward Williams Morley, demostró que tal medio no existía.

Para Platón, lo que importa no son los complejos fenómenos que observamos en el universo, sino lo verdaderamente fundamental son las simetrías subyacentes, y éstas nunca cambian.

Este punto de vista se corresponde con el pensamiento moderno sobre las leyes de la naturaleza. Por ejemplo, estas leyes no cambian según el lugar del universo y, por esta razón, podemos utilizar las mismas leyes que determinemos desde los experimentos en laboratorios tanto si estamos estudiando un átomo de hidrógeno en la Tierra o a miles de millones de años luz de distancia. Esta simetría de las leyes de la naturaleza se manifiesta mediante la conservación de la cantidad que denominamos momento lineal (al igualar el producto de la masa de un objeto y la velocidad, y al tener la dirección del movimiento), es decir, tiene el mismo valor tanto si la medimos hoy como dentro de un año. Del mismo modo, dado que las leyes de la naturaleza no cambian con el transcurso del tiempo, se conserva la cantidad que llamamos energía. No podemos obtener energía de la nada.

Por tanto, las teorías modernas, basadas en las simetrías y en las leyes de conservación, son en realidad platónicas.

La fascinación de los pitagóricos por los poliedros podría haberse originado a partir de las observaciones de los cristales de pirita en el sur de Italia, donde se situaba la escuela pitagórica. A menudo las piritas, más conocidas como el oro del loco, poseen cristales en forma de dodecaedro.

La Proporción Áurea, Φ, juega un papel decisivo en las dimensiones y en las propiedades simétricas de algunos sólidos platónicos.

Las similitudes en las simetrías de los sólidos platónicos nos permiten trazar unos esquemas interesantes de un sólido dentro de otro: Si conectamos los centros de todas las caras de un cubo, obtendremos un octaedro, mientras que si conectamos los centros de las caras de un octaedro, obtendremos un cubo. El mismo procedimiento se puede aplicar al trazar un icosaedro dentro de un dodecaedro y viceversa, y la proporción que se obtiene de las longitudes de la arista de ambos sólidos (uno dentro del otro) puede expresarse en los términos de la Proporción Áurea como Φ2/√5. El tetraedro es auto-recíproco: al unir los cuatro centros de las caras de un tetraedro se obtiene otro tetraedro.

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Fuentes:

1) Pitágoras www.worldhistory.org
2) Qué convirtió a los Elementos de Euclides en el único libro que puede competir con la Biblia www.bbc.com/mundo/noticias
3) Leonardo de Pisa (biografía)

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