2) El Renacimiento.
       La historia de PHI (Φ), el número más sorprendente del mundo.

El fin del "oscurantismo" de la Edad Media al comenzó a gestarse a finales del siglo XIV y tomó fuerza en el siglo XV, especialmente en Italia, donde surgió el Renacimiento, extendiéndose al resto de Europa durante el siglo XVI.

Esta transición fue un proceso complejo se dio gradualmente, impulsado por una combinación de factores históricos, culturales y sociales, que cambiaron la forma de pensar y de comprender el mundo. Algunos de los elementos clave de esta transformación fueron:

a) "Las cruzadas y el contacto con otras culturas:" Las cruzadas llevaron a un intercambio cultural con el mundo islámico, que era un centro de conocimiento avanzado en matemáticas, astronomía, medicina y filosofía. Esto reintrodujo ideas clásicas y estimuló la curiosidad intelectual en Europa.

b) "La recuperación de textos clásicos:" Muchos textos de la antigüedad grecorromana, que habían estado perdidos o olvidados, fueron redescubiertos y traducidos, gracias en parte a los eruditos árabes y bizantinos. Esto revivió el interés por las ideas clásicas y sentó las bases para el humanismo.

c) "Cambios económicos y sociales:" La consolidación del comercio y el surgimiento de una burguesía más poderosa promovieron una mayor inversión en educación, arte y ciencia, alejándose de la visión feudal y centrada en lo espiritual de la Edad Media.

d) "El declive del poder absoluto de la Iglesia:" Aunque la Iglesia seguía siendo influyente, eventos como el Cisma de Occidente comenzaron a desafiar su dominio.

e) "La invención de la imprenta (siglo XV):" La imprenta de Gutenberg revolucionó la difusión del conocimiento, permitiendo que ideas y descubrimientos se compartieran rápidamente y alcanzaran un público más amplio.

f) "El descubrimiento del Nuevo Mundo (1492):" Esto amplió las perspectivas geográficas y culturales, alimentando un espíritu de exploración y cuestionamiento sobre el mundo.

g) "El humanismo:" Este movimiento puso al ser humano en el centro de la reflexión filosófica y cultural, en lugar de enfocarse exclusivamente en lo divino. Promovió el estudio de las humanidades y el potencial humano.

En conjunto, estos cambios transformaron Europa en un lugar donde las artes, las ciencias y el pensamiento crítico florecieron, sentando las bases para la era moderna.

Tres de los más famosos pintores renacentistas, los italianos Piero della Francesca, Leonardo da Vinci, y el alemán Alberto Durero, realizaron aportes a las matemáticas relacionadas con la Proporción Áurea.

Tres obras sobre matemáticas de Piero della Francesca han llegado hasta nuestros días: "De Prospectiva pingendi" (Sobre la perspectiva en la pintura), "Libellus de Quinque Corporibus Regularibus" (Libro corto sobre los cinco sólidos regulares) y "Trattato d’Abaco" (Tratado sobre el ábaco).

El libro de Piero sobre la perspectiva (escrito entre 1470 y 1480) contiene numerosas referencias a "Los Elementos" y a la "Óptica" de Euclides, ya que su intención era la de demostrar que la técnica para lograr la perspectiva en pintura tenía una sólida base científica respecto a la percepción visual. "De Prospectiva pingendi" (Sobre la perspectiva en la pintura) se convirtió en el manual de los que intentaban pintar figuras planas y sólidas. Flagellazione, de Pietro es una pintura con una construcción de la perspectiva meticulosamente determinada.

Como Fibonacci antes que él, Piero della Francesca escribió el "Tratado sobre el ábaco", en primer lugar, para proporcionar a los mercaderes de la época una serie de recetas aritméticas y de reglas geométricas.

En un mundo comercial que carecía de un sistema único de pesos y medidas, o de un acuerdo sobre el tamaño o la forma de los recipientes, era imprescindible tener la habilidad para calcular los volúmenes de las figuras.

Sin embargo, la curiosidad matemática de Piero le llevó más allá de las aplicaciones cotidianas. Por tanto, en sus libros encontramos problemas «inútiles», como, por ejemplo, calcular la cara de un octaedro inscrito dentro de un cubo, el diámetro de cinco círculos pequeños inscritos dentro de un círculo de diámetro conocido, solución que resulta ser un pentágono y, por tanto, la Proporción Áurea.

Gran parte de la obra algebraica de Piero se incorporó a un libro publicado por Luca Pacioli (1445-1517) y titulado "Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita" (Recopilación de conocimiento sobre aritmética, geometría, proporción y proporcionalidad).

La mayor parte de la obra de Piero sobre los sólidos, que apareció en latín, la tradujo Luca Pacioli al italiano, incorporándola en su famoso libro: "Divina Proportione".

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2.1) Luca Pacioli
         El matemático renacentista, padre de la contabilidad moderna.

Luca Pacioli nació en 1445 en Borgo San Sepolcro, la misma ciudad toscana donde nació y tenía su taller Piero della Francesca. De hecho, Pacioli recibió sus primeras enseñanzas en el taller de Piero. Piero y Pacioli mantendrian una estrecha relación más adelante en su vida, como se adivina por el hecho de que Piero incluyó un retrato de Pacioli, como San Pedro Mártir, en un cuadro de "Madonna con Niño, Santos y Ángeles".

Pacioli se trasladó a vivir a Venecia siendo joven y allí se convirtió en el tutor de los tres hijos de un acaudalado mercader. En la década de 1470 Pacioli estudió teología y fue ordenado fraile franciscano. Y durante los años siguientes viajó, enseñando matemáticas en las universidades de Perugia, Zara, Nápoles y Roma.

Después de que el Papa le hubiera otorgado privilegios especiales, Pacioli regresó a Borgo San Sepolcro en 1489, y en 1494, regresó a Venecia para publicar "Summa", obra que dedicó al Duque Guidobaldo.

En el que debe ser el mejor retrato de un matemático que jamás se haya pintado, Jacopo de’Barbari (1440-1515) nos muestra a Luca Pacioli dando una lección de geometría. La obra se encuentra actualmente en la Galleria Nazionale Di Capodimonte en Nápoles. En la pintura puede observarse a Pacioli, vestido con su indumentaria de fraile y con la apariencia de un sólido geométrico, copiando un diagrama del volumen XIII de "Los Elementos" de Euclides. Cuelga en el aire un poliedro transparente, conocido como rombicuboctaedro (uno de los Sólidos de Arquímedes, de veintiséis caras dieciocho de las cuales son cuadrados y ocho son triángulos equiláteros), lleno de agua hasta la mitad, y que simboliza la pureza y la intemporalidad de las matemáticas. Uno de los sólidos platónicos, un dodecaedro, sobre el libro de Pacioli "Summa" y un estudiante cuyo rostro guarda parecido con el pintor "Alberto Durero", se encuentra en la pintura completa"

En 1494, Luca Pacioli publica en Venecia "Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita" (Resumen de aritmética, geometría, proporciones y proporcionalidad), obra que dedicó a un mecenas de las Artes llamado Guidobaldo da Montefeltro. "Summa" fue una obra enciclopédica, que reunía el conocimiento matemático, en aritmética, álgebra, geometría y trigonometría, de la época. En este libro, Pacioli toma problemas sobre álgebra y geometría de Leonardo Fibonacci (nombre con el cual seria reconocido "Leonardo de Pisa" o en latín "Leonardus Pisanus") (1170-1240). Una parte de "Summa" trata la "contabilidad de doble-entrada": Método para llevar las cuentas que indica de dónde viene el dinero y a dónde va. Pacioli no inventó este sistema, sino que se dedicó a sintetizar las prácticas de los mercaderes venecianos del Renacimiento, en el primer libro que se publicó sobre contabilidad. El deseo de Pacioli de «dar al comerciante, sin demora, la información sobre los activos y pasivos» le otorgó el título de «Padre de la Contabilidad».

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2.1.a) Leonardo da Vinci
           El visionario e innovador Leonardo da Vinci se suma al trabajo de Luca Pacioli.

Posteriormente Pacioli, durante su estancia en Milán, entre 1496 y 1499, formando parte de la corte de Ludovico Sforza, conocido como "El Moro", duque de Milán, trabajó junto a figuras prominentes como Leonardo da Vinci, con quien desarrolló una estrecha relación. Fue invitado a unirse a la corte de Sforza por influencia de Leonardo, quien tenía un notable interés por la geometría, especialmente por sus aplicaciones prácticas en mecánica. En sus propias palabras: «La mecánica es el paraíso de las ciencias matemáticas; por medio de ella, uno obtiene los frutos de las matemáticas». De hecho, Da Vinci colaboró con Pacioli en varios proyectos, entre elos un tratado en tres volúmenes: "Divina Proportione", que publicó más tarde en Venecia en 1509. El primer volumen contiene un resumen detallado de las propiedades de la Proporción Áurea (a la que Pacioli se refiere como «Proporción Divina»), así como un estudio de los sólidos platónicos y otros poliedros. Este primer volumen de "Divina Proportione" se lo dedicó a su mecenas de entonces: "Ludovico Sforza". Su tiempo en Milán terminaría cuando los franceses invadieron la ciudad en 1499, marcando el fin del dominio de los Sforza.

Leonardo se basó en el sentido de la proporción propuesto por el arquitecto romano Marcus Vitruvius Pollio, que culmino con la definición de un canon del cuerpo humano. Leonardo inscribió la figura humana en un círculo y un cuadrado para demostrar la relación proporcional del cuerpo humano con estas dos formas geométricas fundamentales. El círculo representa el aspecto divino y cósmico de la humanidad, simbolizando la perfección y la eternidad, mientras que el cuadrado representa la tierra y el mundo material, simbolizando la estabilidad y la materialidad.

No cabe duda que Pacioli tenía un gran interés por las artes y de que su interés en La Proporción Divina pretendía, en parte, perfeccionar su base matemática. La frase de la primera página del libro expresa su deseo de revelar a los artistas, mediante la Proporción Áurea, el «secreto» de las formas armónicas. Para asegurar el atractivo del libro, Pacioli consiguió para "La Divina Proportione" los servicios del ilustrador soñado por cualquier autor: el mismísimo Leonardo da Vinci se encargó de las sesenta ilustraciones de sólidos. Pacioli para expresar su agradecimiento, escribió sobre la contribución de Leonardo: «El mejor pintor de perspectiva, arquitecto, músico, el hombre dotado de todas las virtudes, Leonardo da Vinci, que dedujo y elaboró una serie de diagramas de sólidos regulares». El segundo libro de "La Divina Proportione" es un tratado sobre la proporción y su aplicación en la arquitectura y estructura del cuerpo humano. El tratamiento de Pacioli se basaba en su mayor parte en la obra del ecléctico arquitecto romano Marcus Vitruvius Pollio (70-15 a.C.), quien escribió: …en el cuerpo humano el punto central es, naturalmente, el ombligo. Ya que si se coloca un hombre estirado, con manos y pies extendidos, y un par de compases centrados en el ombligo, los dedos de manos y pies tocarán la circunferencia del círculo que describen desde el mismo. Además, del mismo modo que el cuerpo describe un diagrama circular, también se puede describir un cuadrado a partir del mismo. Ya que, al medir la distancia desde la planta de los pies hasta la cabeza, y aplicando la medida obtenida a la de los brazos estirados, la anchura será igual a la altura, como en el caso de las figuras planas que son perfectamente cuadradas. Los estudiosos renacentistas consideraron el pasaje anterior como una demostración más del nexo entre la base geométrica y orgánica de la belleza, lo que llevó al concepto del «hombre vitruviano» que Leonardo dibujó con gran belleza (actualmente en la Galleria dell’Accademia, Venecia). Pacioli no insiste, contrariamente a frecuentes aseveraciones halladas en la literatura, en que la Proporción Áurea determine las proporciones de toda obra de arte. Cuando se trata del diseño y de la proporción, Pacioli defiende específicamente el sistema vitruviano, basado en proporciones simples (racionales). El tercer volumen de "La Divina Proportione" es básicamente una traducción italiana, palabra por palabra, de los "Cinco Sólidos Regulares" de Piero della Francesca escrita en latín. El hecho de que Pacioli no reconociera, en ningún pasaje del texto, que no era más que el traductor del libro, provocó que algunos historiadores posteriores lo acusaran de Plagio. Posiblemente, aunque en "Summa" le rindió homenaje a Piero, a quien consideró «el monarca pintor de nuestros tiempos» Hasta la época de Pacioli, la «Proporción Áurea» era conocida tan sólo con unos nombres bastante intimidatorios, como «proporción media y extrema» o «proporción con un medio y dos extremos», y el concepto era sólo conocido por los matemáticos. La publicación de "La Divina Proportione" en 1509 impulsó un nuevo interés por dicha Proporción. En octubre de 1499, Leonardo y de Pacioli, huyeron de Milán tras la caída de la ciudad a manos del ejército francés dirigido por el Rey Luis XII. Tras breves estancias en Mantua y Venecia, se instalaron en Florencia durante un tiempo. Durante ese periodo Pacioli trabajo sobre otras dos grandes obras matemáticas: una traducción al latín de "Los Elementos" de Euclides y una obra no publicada sobre matemáticas lúdicas. La traducción de Pacioli de "Los Elementos" era una edición anotada basada en una traducción anterior de Campanus de Novara (1220-1296) que apareció en edición impresa en Venecia en 1482 (y que fue la primera versión impresa).

Pacioli no logró publicar, antes de su muerte en 1517, su colección de problemas de matemáticas lúdicas. y proverbios: "De Viribus Quantitatis" (Los poderes de los números). Dicha obra era un proyecto de colaboración entre Pacioli y Leonardo.

Este es el primer libro donde aparecen escritos juegos de magia matemática, utilizando propiedades de los números, y la única copia manuscrita permanecido olvidado durante siglos en la antigua Universidad de Bolonia hasta que fue redescubierto en el siglo XX, hace tan sólo unos años, por el matemático estadounidense David Singmaster. El libro ha sido descrito como la "fundación de la magia moderna y los acertijos numéricos".

Ver manuscrito original en italiano antiguo (completo) escaneado en PDF.

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2.2) Alberto Durero (Albrecht Dürer)
         Artista, matemático, perfeccionista, observador y maestro. ¡Un genio del Renacimiento!.

Espiral de Durero. Construcción con regla y compás Durero utiliza a menudo el Sistema diédrico.

Alberto Durero pasó mucho tiempo estudiando "Los Elementos" de Euclides, las obras de Luca Pacioli, las del arquitecto romano Marcus Vitruvius y del italiano Leon Baptista Alberti. Las contribuciones de Durero a la Proporción Áurea están tanto por escrito como presentes en su arte. Su mayor tratado: "Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit" (Tratado sobre la medida con regla y compás), se publicó en 1525 y fue uno de los primeros libros sobre matemáticas escrito en alemán. Durero se queja de que hay demasiados artistas que ignoran la geometría «sin la cual uno no puede ser o convertirse en un artista absoluto», empezando siempre con una aplicación práctica y continúa con una exposición de los aspectos teóricos más básicos. En sus tratados, Durero no solo intentó definir las proporciones perfectas, sino que también buscó educar a otros artistas sobre la importancia de las matemáticas en la creación artística. Incorporó conceptos como las divisiones armónicas y utilizó herramientas como la cuadrícula para explorar las relaciones proporcionales en las figuras. En el "Tratado sobre la medida con regla y compás" Durero nos describe con detalle la construcción de varias curvas, incluida la espiral. Esta espiral está creada mediante segmentos de arco construidos dentro de un rectángulo áureo siguiendo un método geométrico utilizando regla y compás para dibujarla. Esta espiral no tiene una relación matemática fija como la espiral logarítmica que sí esta definida por una ecuación polar. Su creación es más artística y visual, basada en las proporciones del rectángulo áureo (que muestra además como construirlo a partir de un cuadrado), y es conocida como "Espiral de Durero". El Tratado tambien, contiene métodos aproximados y precisos para la construcción de muchos polígonos, incluido el pentágono. Tambien para los sólidos platónicos y otros sólidos, junto a la teoría de la perspectiva y de las sombras. El libro contiene algunas de las más tempranas representaciones de redes de poliedros. Se trata de hojas sencillas sobre las que se dibujan las superficies de los poliedros de tal modo que las figuras pueden recortarse y doblarse para formar sólidos de tres dimensiones.

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2.3) Johannes Kepler
         Astrónomo visionario, matemático preciso, revolucionario científico, buscador de la armonía.

Las obras de Pacioli, Leonardo, Durero y otros revivieron el interés por el platonismo y pitagorismo.

De pronto, los intelectuales del Renacimiento vieron una auténtica oportunidad para relacionar las matemáticas y la lógica racional con el universo que les rodeaba mediante el espíritu universal platónico.

Conceptos como la «Proporción Divina» crearon un puente entre las matemáticas y el funcionamiento del cosmos y, por otro lado, una relación entre la física, la teología y la metafísica.

La persona que mejor ejemplifica esta fascinante mezcla entre matemáticas y misticismo es Johannes Kepler, destacandose en la transición del Renacimiento al período de la Revolución Científica (siglos XVI y XVII).

Johannes Kepler estaba profundamente influenciado por conceptos de armonía y proporción divina en su visión del universo. Creía que las matemáticas eran una expresión del diseño divino y que el cosmos estaba construido según principios geométricos armoniosos. Su trabajo más famoso relacionado con esto es "Harmonices Mundi" (La armonía del mundo), publicado en 1619. En este libro, Kepler desarrolló su idea de que las relaciones entre los planetas del sistema solar se basaban en proporciones matemáticas y musicales. Introdujo la idea de que las órbitas planetarias reflejaban una "música del universo", donde los planetas seguían un patrón de proporciones armoniosas, similar a la música creada por diferentes intervalos en una escala musical. Además, fue en "Harmonices Mundi" donde formuló su Tercera Ley del Movimiento Planetario, que establece una relación precisa entre el período orbital de un planeta y la distancia media al Sol. Para Kepler, estas proporciones no eran solo leyes físicas, sino una prueba de la belleza y perfección del diseño divino. A diferencia de anteriores astrónomos que se contentaban simplemente con registrar las posiciones de los planetas, Kepler busca una teoría que lo explicara todo. Sus leyes del movimiento planetario revolucionaron la comprensión del cosmos, construyendo sobre las ideas de Copérnico y allanando el camino para los trabajos de Newton más adelante. La cuestión sobre las causas que provocan que las Leyes de Kepler sean ciertas fue un problema científico no resuelto durante casi setenta años tras la publicación de las leyes. Fue necesario el genio de Isaac Newton (1642-1727) para deducir que la fuerza que mantenía a los planetas en sus órbitas era la gravedad. Newton explicó las Leyes de Kepler resolviendo al mismo tiempo las leyes que describían el movimiento de los cuerpos con la ley de gravitación universal.

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Kepler no tardó en darse cuenta de que este modelo de poliedros perfectos no explicaba bien el movimiento de los planetas. Su profunda religiosidad, no le permitía aceptar que Dios no hubiera dispuesto que los planetas describieran figuras geométricas simples y con esta idea se dedicó a probar con toda suerte de combinaciones de círculos. Luego convencido de la imposibilidad de lograrlo con círculos, con gran decepción, empleó elipses. Con ellas llegó a las famosas tres leyes. Sin embargo, esta falta de simplicidad en el Universo, que Kepler vivió como un fracaso, fue compensada de nuevo por la perfección de la Armonía Universal. Consideró que la velocidad angular de un planeta representaba el número de vibraciones de un cierto tono y, como la velocidad cambia a lo largo de la revolución, este sonido recorrería un intervalo musical que estaría entre el punto de mayor velocidad (el perihelio, punto más cercano al Sol) y el de menor velocidad (el afelio o punto más alejado del Sol). De acuerdo con las leyes de Kepler, la amplitud de este intervalo dependería de la excentricidad de la órbita. Además, de esta música individual de cada planeta, se podía considerar una armonía que regía las relaciones entre ellos. Ver: leyes del movimiento planetario(+)

Johannes Kepler vivió en tiempos de gran incertidumbre política y religiosa, lo que influyó en sus constantes traslados. Aquí un resumen de las principales ciudades en las que vivió y los momentos importantes de su vida: 1.- Nació el 27 de diciembre de 1571 en "Weil der Stadt", un pequeño pueblo en el suroeste de Alemania, que formaba parte del Sacro Imperio Romano Germánico. 2.- "Tubinga (1589-1594)": Estudió teología en la Universidad de Tubinga, donde fue introducido a las ideas heliocéntricas de Copérnico. 3.- "Graz (1594-1600)": Trabajó como profesor de matemáticas y astronomía en la Universidad de Graz, Austria. El cargo obligaba a la elaboración anual de almanaques y predicciones, tarea que lo hizo experto en la lectura de horóscopos. Y fue aquí donde, todavía en su etapa astrológica, escribió su primer tratado: "Misterium Cosmographicum" (El Misterio Cósmico), publicado en 1596, en latín. (link al libro completo). El libro explica la teoría cosmológica de Kepler, basado en el sistema copérnico, en el cual los cinco poliedros regulares platónicos dictan la estructura del universo y reflejan el plan de Dios por medio de la geometría. Aunque no presenta ningún valor desde el punto de vista científico, tiene un gran valor cultural, ya que pone de manifiesto el sentimiento mágico que siempre han despertado la matemáticas, probablemente debido a la exactitud sorprendente de sus cálculos y predicciones. Kepler envia copias a miembros relevantes de la comunidad científica, de los que espera críticas favorables, entre ellos Galileo Galilei y Tycho Brahe. Aunque Galileo mantendrá correspondencia con Kepler sobre importantes descubrimientos, nunca le mencionará dicho libro, para él nada más que un divertimento sin base científica. En cambio Tycho le contestó pasado un año, habiéndolo leído, invitandolo a visitarle en Praga para discutir la conveniencia de utilizar datos más fidedignos, como los que el mismo Tycho había obtenido con sus instrumentos, pues se dio cuenta de que había utilizado los datos de Copérnico para las medidas de las órbitas, que él sabia inexactos. 4.- "Praga (1600-1612)": Se mudó a Praga para trabajar con astrónomo danés "Tycho Brahe", considerado el más grande observador del cielo, como su asistente, cuando tenía 29 años y Brahe 53. A la muerte de Brahe, Kepler lo sucedió como el matemático imperial de Rodolfo II Su "lucha con Marte" fue un capítulo crucial en la vida de Kepler. Se refiere al arduo trabajo que llevó a cabo tratando de comprender y modelar la órbita del planeta Marte utilizando los precisos datos por Brahe. Comenzó con la idea tradicional de que las órbitas eran circulares, pero las inconsistencias que no podía reconciliar lo llevó a revisar y recalcular repetidamente, donde cada pequeño error requería volver a empezar casi desde cero. Las desviaciones eran extremadamente pequeñas en términos angulares, en el rango de 8 minutos de arco, que en aquella época, podían haberse considerado insignificante, pero Kepler fue meticuloso y confiaba plenamente en la precisión de las observaciones de Brahe. Finalmente, tras ocho años de trabajo meticuloso y un esfuerzo sin precedentes, Kepler se dio cuenta de que la órbita de Marte no era circular, sino elíptica, y que la velocidad en su órbita no es constante, sino que varía. Y enunció sus dos primeras leyes que estan contenidas en su obra "Astronomía Nova", publicada en 1609. Sin Marte, es probable que Kepler no hubiera alcanzado el nivel de precisión y profundidad que logró en su trabajo astronómico. 5.- "Linz (1612-1626)": Los años de Kepler en Praga acabaron en 1611, cuando se vio obligado a abandonar la ciudad y dirigirse a la ciudad de Linz, en la actual Austria, donde continuó su trabajo científico y publicó su segunda mejor obra sobre cosmología:"Harmonices Mundi" (La armonía del mundo) (1619). Los modelos y predicciones en las orbitas de los distintos planetas, usados para demostrar su tercera ley, formulada al final de "Harmonices Mundi" requerieron una combinación de cálculos geométricos, matemáticos y análisis de grandes volúmenes de datos astronómicos, que fue un trabajo titánico en una época sin calculadoras ni computadoras 6.- "Ulm (1626-1629)": Durante un tiempo vivió en Ulm, Alemania, donde completó y publicó las "Tablas Rudolphinas", publicadas en 1627, basadas en las observaciones de Tycho Brahe, que Kepler amplio. 7.- "Ratisbona (1630)": Kepler pasó sus últimos meses en Ratisbona (Regensburg), Alemania, donde falleció el 15 de noviembre de 1630.

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"La Armonía de las Esferas"

La idea de la "música de las esferas" tiene raíces en la filosofía pitagórica, que proponía que los movimientos de los cuerpos celestes (planetas, estrellas) producían una especie de armonía musical inaudible debido a sus proporciones matemáticas perfectas. Johannes Kepler, inspirado por esta tradición, dedicó parte de su trabajo a explorar cómo las leyes del universo se relacionaban con la armonía y la música. En su libro "Harmonices Mundi" (La armonía del mundo), publicado en 1619, Kepler desarrolló estas ideas. Descubrió que las relaciones matemáticas entre las velocidades orbitales de los planetas correspondían a proporciones armónicas que podían interpretarse como acordes musicales.

Además, de esta música individual de cada planeta, se podía considerar una armonía que regía las relaciones entre ellos. Para esto, Kepler comparó las velocidades en el afelio y el perihelio de un planeta con las del más próximo a él, obteniendo así dos tipos de intervalos:

  a. Intervalo convergente: relación entre la velocidad en el afelio del planeta más alejado y la del perihelio del más cercano.
  b. Intervalo divergente: relación entre la velocidad en el perihelio del planeta más alejado y la del afelio del más cercano.

Ver: Proporciones armónicas de los planetas

Kepler no asignó notas musicales específicas al estilo moderno (como DO, RE, MI, etc.), describió las relaciones entre las velocidades de los planetas en términos de intervalos musicales. Imaginó una especie de partitura divina, en la cual los movimientos planetarios eran los músicos de una orquesta cósmica

Esta idea más poética que científica, demuestra cómo Kepler combinó matemáticas, astronomía, música y espiritualidad en su pensamiento.

Kepler mismo se dio cuenta de que, según su propia teoría, los planetas estarían en disonancia la mayor parte del tiempo, pero argumentó que en determinados momentos, algunos se alinearían produciendo consonancias parciales. Como esta armonía seria transitoria el universo no tendría fin, pues no podía acabar hasta que sonase bien.

Hoy sabemos que no hay música en las esferas. En el espacio hay vacío, no existe ningún medio por el que puedan viajar las ondas sonoras, ni consonantes ni disonantes.

La música de las esferas se basa la idea pitagórica de que hay algo musical en el cosmos y algo cósmico en la música. De hecho, que todas las proporciones que aparecen al relacionar las velocidades angulares de los planetas se correspondan de forma muy aproximada con intervalos musicales que aparecen en la Justa Entonación, parece algo más que una pura casualidad. Sin embargo, los calculos son muy forzados.

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Kepler y su catálogo estelar de referencia posicional.

Las "Tablas Rudolfinas" fueron un catálogo estelar publicado en 1627, usando los datos recabados por Brahe y ampliados por Kepler. Las Tablas contienen las posiciones de 1.005 estrellas (777 del catálogo de Brahe), con instrucciones y tablas para localizar los planetas del sistema solar.

Durante el siglo siguiente fueron la obra de referencia en astronomía posicional.

Los cálculos fueron muy precisos al emplear las recién publicadas tablas logarítmicas que simplificaron los cálculos y disminuyeron los errores. Daban una precisión de un minuto de arco en la posicion del astro y fueron las primeras en incluir factores de corrección para la refracción atmosférica

Kepler murió el mediodía del 15 de noviembre de 1630, a los 58 años, y fue enterrado en Regensburg. De un modo apropiado a su turbulenta vida, las guerras han destruido su tumba completamente. Afortunadamente, sobrevivió un esbozo de la lápida que contiene el epitafio del propio Kepler:   Yo solía medir los cielos   Ahora las sombras de la tierra mido   Mi mente estaba en los cielos,   Ahora la sombra de mi cuerpo descansa aquí. En la actualidad, su originalidad y prolífico trabajo son casi incomprensibles, dado la serie de dificultades personales inimaginables que sufrió (que hemos omitido describir) a lo largo de su vida. Otro gran aporte: El telescopio kepleriano Kepler invento y construyo un telescopio cuyo funcionamiento esta descripto en su obra "Dioptrice" de 1611. Se trata de una mejora del diseño de Galileo, que utiliza en el ocular una lente convexa en vez de una lente cóncava, lo que permite un campo de visión más amplio y detallado. La desventaja es que se observa la imagen invertida: lo que es arriba aparece abajo y lo que es a la izquierda aparece a la derecha.

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Kepler y su intuición sobre la influencia de la Luna en las mareas

Johannes Kepler abordó el tema de las mareas en su obra "Astronomia Nova" (1609) (link al libro completo), en latín.

Aun no se conocía el concepto de gravedad tal como lo formuló Newton más tarde, pero Kepler tenía una intuición notable sobre la conexión entre la Luna y las mareas, sugiriendo que la Luna ejercía una especie de "fuerza" o "influencia" sobre los océanos de la Tierra, lo que causaba las mareas.

Aunque no podía explicar esta fuerza en términos físicos precisos, su idea era revolucionaria porque vinculaba las mareas con un cuerpo celeste, en lugar de atribuirlas a fenómenos terrestres como lo hacían otros en su época.

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Kepler y la primera obra de ciencia ficción: Somnium

Somnium ( en latín , "El Sueño") «título completo: Somnium, seu opus posthumum De astronomia lunari» es una novela escrita en latín en 1608 por Johannes Kepler y publicada póstumamente, cuatro años después de su muerte, por su hijo en 1634. Kepler utiliza este relato para explorar cómo se vería la Tierra desde la Luna y para reflexionar sobre las fases lunares y otros fenómenos astronómicos. Se lo considera el primer tratado científico serio sobre astronomía lunar. Y "Carl Sagan" e "Isaac Asimov" la han calificado como una de las primeras obras de ciencia ficción. La novela narra la historia de Duracotus, un joven islandés, que gracias a su madre, Fiolxhilda, y mediante un conjuro mágico, irán en un viaje a la Luna, durante un eclipse solar. Kepler comenzó con la idea de “Somnium” en una disertación estudiantil en 1600, cuando defendió la doctrina copernicana, explicando que un observador en la luna encontraría los movimientos de la tierra igual de visibles como un observador en la tierra. En 1608 agregó el marco del sueño, y en 1620 una serie de notas explicativas que reflexionaban sobre su carrera y las etapas de su desarrollo intelectual. En realidad “Somnium” esconde la autobiografía de Kepler. El es ese niño de 14 años, en 1585, que deseaba viajar a la Luna y, que es protegido por un rico comerciante, que lo envía a estudiar y convertirse en matemático imperial.

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Kepler y los Copos de Nieve. Vislumbrando el Teselado Natural.

Johannes Kepler escribió en 1611 un ensayo titulado "Strena seu de Nive Sexangula" (Sobre el copo de nieve hexagonal). En este breve tratado de 24 paginas, reflexionó sobre por qué los copos de nieve tienen una forma hexagonal tan regular. Fue el primer estudio científico registrado sobre la formación de cristales. Kepler observó que los copos de nieve siempre caían con una estructura de seis lados y se preguntó por qué no tenían cinco, siete u otra cantidad de lados. Relacionó esta simetría con principios geométricos y matemáticos, sugiriendo que la forma hexagonal podría estar vinculada a cómo las partículas se organizan de manera eficiente en el espacio, un concepto que hoy asociamos con el empaquetamiento compacto. Lo curioso es que Kepler escribió este ensayo como un regalo de Año Nuevo para su amigo y benefactor, el barón Wacker von Wackenfels.

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Kepler y la Proporción Áurea en números Fibonacci. Un descubrimiento

La obra matemática de Kepler aportó unos cuantos hitos más a la historia de la Proporción Áurea. En una carta que escribió en 1608 a un profesor de Leipzig descubrimos que encontró la relación entre los números Fibonacci y la Proporción Áurea. Kepler descubrió que la proporción de números Fibonacci consecutivos converge en la Proporción Áurea. De hecho, también descubrió otra propiedad interesante de los números Fibonacci: que el cuadrado de cualquier cifra difiere en 1 como máximo del producto de las dos cifras adyacentes en la secuencia. Por ejemplo, si la secuencia es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …, y obtenemos 32 = 9, vemos que sólo difiere por 1 del producto de las dos cifras adyacentes a 3, 2 × 5 = 10. Del mismo modo, 132 = 169 difiere por 1 de 8 × 21 = 168, y así sucesivamente. Ver: rompecabeza matemático de Sam Loyd con paradoja de esta propiedad

Kepler, la Proporción Áurea y el teselado

Un aspecto importante para la historia de la Proporción Áurea es la obra de Kepler sobre el embaldosado o el teselado. Dado que Kepler estaba convencido de que «antes del origen de las cosas, la geometría era co-eterna con la Mente Divina», la mayor parte de "Harmonices Mundi" (La armonía del mundo) estaba dedicada a la geometría. Su interés por la relación entre las diferentes formas geométricas y su admiración por el pentágono (manifestación directa de la «Proporción Divina») lo hizo interesarse en la congruencia (encaje) de las formas geométricas como los polígonos y los sólidos. Para Kepler se trataba de una representación de «armonía», ya que armonía significa en griego «encajar». Curiosamente, otros dos hombres que jugaron un papel importante en la historia de la Proporción Áurea antes que Kepler también mostraron interés en el embaldosado: el matemático del siglo X Abu’l-Wafa y el pintor Alberto Durero. Ambos presentaron diseños de figuras con simetría multiplicada por cinco.

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NOTA: Tendemos a pensar en las palabras ciencia o arte como categorías claramente diferenciadas y más o menos constantes a lo largo de la historia. Nada más lejos de la realidad.

De hecho, el concepto de arte que hoy manejamos no existió hasta el siglo XVIII aproximadamente. Fue en 1746, cuando el filósofo Charles Batteux acuñó el término “bellas artes” agrupando, aproximadamente2, las disciplinas que hoy consideramos como tales.

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